Seminar on the h-cobordism theorem

Prof. Bernd Ammann,

Content of the Seminar

A bordism is a (differentiable) compact manifold W with boundary M, such that M is the disjoint union of two manifolds M1 and M2. We suppose that the inclusions M1 → W and M2 → W are homotopy equivalences. The h-cobordism theorem states that then W is diffeomorphic to a cylinder M1 x [0,1]. The main goal of the seminar is to prove this theorem, based on Morse theoretic methods.

We then show important applications, in particular the Poincaré conjecture in higher dimensions: Each simply-connected compact differentiable manifold without boundary of dimension n ≥ 5 with the integral homology of a sphere is already homeomorphic to a sphere. Such spaces are even diffeomorphic to a sphere in the cases n=5 and n=6 (not proven in the seminar), but e.g. in dimension n=7 there are manifolds which are homeomorphic, but not diffeomorphic to a sphere. Such manifolds are called exotic spheres.

Extended German version: Inhalt des Seminars

Ein Bordismus ist eine (differenzierbare) kompakte Mannigfaltigkeit W mit Rand M, so dass M die disjunkte Vereinigung von zwei Mannigfaltigkeiten M1 und M2 ist. Angenommen die Inklusionen M1 → W und M2 → W sind Homotopie-Äquivalenzen. Der h-Kobordismus-Satz besagt dann, dass W diffeomorph zu einem Zylinder M1 x [0,1] ist. Das Hauptziel des Seminars ist es, diesen Satz zu beweisen.

Wir zeigen auch wichtige Anwendungen, unter anderem die Poincaré-Vermutung in höheren Dimensionen: Jede einfach zusammenhängende kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand der Dimension n ≥ 5 mit der ganz-zahligen Homologie einer Sphäre ist bereits homöomorph zu einer Sphäre. Man erhält sogar Diffeomorphie im Fall n=5 und n=6, aber es gibt Mannigfaltigkeiten die zwar homöomorph, aber nicht diffeomorph zu einer Sphäre der Dimension 7 sind.

Weitere interessante Anwendungen findet man in Kapitel 9 des Buches von Milnor.

Eine der wichtigsten Methoden des Buches ist, Morse-Funktionen auf dem Bordismus zu vereinfachen. Derartige Techniken sind auch wichtig, um zum Beispiel zu zeigen, dass jede einfach zusammenhängende kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand der Dimension n ≥ 5 genau dann eine riemannsche Metrik mit positiver Skalarkrümmung trägt, wenn es keine indextheoretische Obstruktion gibt.

Das Programm des Seminars wird zu knapp zwei Dritteln vom Beweis des h-Kobordismus-Satzes geprägt. Der restliche Teil des Programms wird voraussichtlich im August festgelegt.

Literature

Time and Place

Mo 16-18 in M103

Organisational meeting

Monday, July 22, 16.15, M201 (Sitzungszimmer)
THE TIME AND THE LOCATION HAS CHANGED

Program

The program of the seminar.

Registration

Please come to the organisational meeting (see above).

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Bernd Ammann, 21.07.2019
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