Analysis auf Mannigfaltigkeiten (Analysis IV)

Prof. Bernd Ammann, Zimmer 119
Jonathan Glöckle, Zimmer 310
Guadalupe Castillo Solano

Dies ist die Analysis-IV-Seite von Bernd Ammann.

Aktuelles

Inhalt der Vorlesung

Die Vorlesung "Analysis auf Mannigfaltigkeiten" (Analysis IV) wendet sich an Studierende im dritten und vierten Semester im Studiengang Bachelor Mathematik, sowie alle Physiker(innen), die besonderen Wert auf mathematische Grundlagen legen. Sie kann auch für Studierende des gymnasialen Lehramts interessant sein, zum Beispiel, wenn sie die unten genannten Anwendungen in der Physik konzeptioneller verstehen wollen.
Das zentrale Thema der Vorlesung sind Mannigfaltigkeiten, wie zum Beispiel Untermannigfaltigkeiten in Rn, die bereits in Analysis II kurz erwähnt wurden. Man kann damit zum Beispiel die Krümmung von Kurven in der Ebene und im Raum beschreiben, oder die von Flächen im Raum. Die Vorlesung legt auch die Grundlagen, um viele physikalische Theorien effektiv formulieren zu können: Symmetrie-Gruppen wie SO(3), klassische Mechanik, Elektrodynamik, Allgemeine Relativitätstheorie, Eichfeldtheorie. Auch für viele innermathematische Gebiete ist das Verständnis von Mannigfaltigkeiten ein erster wichtiger Schritt: angefangen bei partiellen Differentialgleichungen, die geometrisch motiviert sind, bis hin zur Algebraischen Geometrie, die den Begriff der Mannigfaltigkeit dann verallgemeinert. Wir wollen im Sommersemester die grundlegenden Objekte kennenlernen, mit denen diese Anwendungen studiert werden können: Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume, Vektorfelder, Differentialformen, Integration auf Mannigfaltigkeiten, Satz von Stokes, Satz von Gauß, kompakte Flächen, Satz von Gauß und Bonnet. Für einen ersten Eindruck empfehle ich u.a. das Buch von Christian Bär mit dem Titel Elementare Differentialgeometrie oder mein Skript der Vorlesung vor 5 Jahren. Weitere Literatur in der Vorlesung.
Im Wintersemester 2020/21 wird eine Vorlesung Differentialgeometrie I angeboten, die dann im Sommersemester 2021 durch die Vorlesung Differentialgeometrie II (Lorenzgeometrie) fortgeführt wird. In diesen Vorlesungen wird die Krümmung von Räumen systematisch studiert, was insbesondere zu einem einfachen und dennoch gründlichen Verständnis zentraler physikalischer Theorien wie allgemeiner Relativitätstheorie, klassischer Mechanik oder Elektrodynamik führt.

Vorkenntnisse

Analysis I und II, Lineare Algebra I. Hilfreich sind auch Analysis III und Lineare Algebra II.

Die Vorlesung ist zwar in erster Linie gedacht als Teil des 4-semestrigen Einführungskurses in Analysis, sie baut aber vor allem auf Analysis II auf und weniger auf Analysis III. Aus Analysis III benötigt sie vor allem die Transformationsformel, die man aber für diese Vorlesung auch ohne Beweis hinnehmen kann. In Fällen nicht-geradliniger Studienverläufe (Ortswechsel, Fachwechsel, Pausen, Auslandssemester) kann es also auch sehr sinnvoll sein, die Vorlesung zu besuchen, ohne Analysis III gehört zu haben.

Literatur

Ort und Zeit der Vorlesung

Di 8-10 und Fr 8-10 in H31, jeweils 8.15 -10.00 mit 15 Minuten Pause.

Zentralübung

Di 14-16 in H31, gehalten von Jonathan Glöckle..

Übungen

siehe GRIPS

Wichtige Termine...

Mögliche Termine für mündliche Prüfungen werden später entweder auf meiner Homepage oder in der Vorlesung bekanntgegeben. Alle andere Termin finden sie auf GRIPS.

Verbundene Webseiten

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Bernd Ammann, 03.04.2020
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