Einführung in die Kähler-Geometrie

Kähler-Geometrie ist ein faszinierendes aktuelles Forschungsgebiet der Mathematik, als Schnitt zwischen den Riemannschen, symplektischen und komplexen Geometrie.
Die Kähler-Mfk. sind sowohl in der Differentialgeometrie und Algebraischen Geometrie, als auch in der theoretischen Physik untersucht. Vielleicht der grösste Vorteil
von dieser Struktur, ist das sie erlaubt viele Beispiele zu konstruieren, die auch physikalische Relevanz haben.

Das Ziel dieser Vorlesung ist es, eine zugängliche Einführung in diesem Gebiet zu geben. Im Wesentlichen werden wir die zwei sehr schöne Bücher von A. Moroianu, [2],
und W. Ballmann, [1], folgen und sie vor allem mit [3] und [4] ergänzen. Der Inhalt der Vorlesung ist folgendes:
  1. Komplexe Mannigfaltigkeiten (Definition, holomorphe Funktionen, Zerlegung der Formen, Beispiele, ddc-Lemma , Hermitesche Vektorbündel, Krümmung)

  2. Kähler-Mannigfaltigkeiten (Definition, äquivalente Beschreibungen, Holonomie, Killing-Vektorfelder, Krümmungs-Eigenschaften, Beispiele)

  3. Kohomologie von Kähler-Mfk. (Laplace-Operator auf Kähler-Mfk., die Lefschetz-Abbildung, die Hodge- und Dolbeault-Zerlegung, Serre-Dualität, globales ddc-Lemma)

  4. Kähler-Einstein Metriken (Chern-Klassen, Ricci-Krümmung auf Kähler-Mfk., Calabi-Yau Theorem, Aubin-Yau Theorem, holomorphe Vektorfelder auf Kähler-Einstein-Mfk.)

  5. Kodaira Verschwindungs- und Einbettungssatz (Weitzenböck-Formel, Verschwindungssätze, Anwendungen)

Für den letzten Teil der Vorlesung werden wir zwischen verschiedenen möglichen weiteren Richtungen wählen, je nach Interesse der Teilnehmer.
Vorschläge dafür wären folgende: extremale Kähler Metriken, die Formalität von Kähler-Mfk., andere verwandte Geometrien: symplektische Mfk. (z.B. Reduktionstheorem auch für Kähler Mfk.),
Hyper- und Quaternionsch-Kähler Mfk., Sasaki Mfk. und deren Beziehung zu Kähler-Mfk., Spin-Geometrie auf Kähler-Mfk.

If wished by the audience, the lecture and the exercise session could be also hold in English.

Literatur:
Für einen ersten Blick in diesem Gebiet sind folgende Bücher, die auch online verfügbar sind, sehr gut:
  1. W. Ballmann, Lectures on Kähler manifolds, European Mathematical Society, Zürich, 2006.
    (http://people.mpim-bonn.mpg.de/hwbllmnn/archiv/kaehler0609.pdf)

  2. A. Moroianu, Lectures on Kähler geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 2007.
    (http://www.math.polytechnique.fr/~moroianu/tex/kg.pdf)

Für weitere Literatur finde ich folgende Bücher sehr nützlich:
  1. A. Besse, Einstein Manifolds, Ergeb. Math. Grenzgeb., 10, Springer, Berlin, 1981.
    (Diese ist eine klassische Referenz in Differentialgeometrie. Für unsere Vorlesung brauchen wir
    folgende Kapitel: Kapitel 2, über Kähler-Mannigfaltigkeiten, Kapitel 11 über Kähler-Einstein Metriken
    und im letzten Teil der Vorlesung Kapitel 14 über Quaternionsch-Kähler Mfk.)

  2. P. Griffith, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley, New York, 1978.
    (Auch dieses Buch ist eine klassische Referenz in Differentialgeometrie und Algebraische Geometrie.
    Für die Vorlesung nehmen wir von hier den Beweis des Hodge-Theorems. Das Buch ist auch
    für die algebraisch-geometrischen Aspekte der Theorie sehr gut.)

  3. D. Huybrechts, Complex geometry. An introduction, Springer-Verlag, Berlin, 2005.
    (Dieses Buch kann für das Studium von komplexen Mannigfaltigkeiten als Ergänzung zu [1] und [2]
    benutzt werden. Es ist auch eine gute Referenz für die Formalität von Kähler-Mfk.)

  4. D. Joyce, Compact Manifolds with Special Holonomy, Oxford University Press, 2000.
    (Aus diesem Buch brauchen wir vor allem den Beweis der Calabi-Vermutung und Beispiele
    von Calabi-Yau und HyperKähler-Mannigfaltigkeiten.)

  5. E. Kähler, Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik, Abh. Math. Sem. Hamburg Univ. 9 (1933), 173-186.
    (Dieser Artikel ist von historischer Wichtigkeit, hier wurden Kähler Mfk. zum ersten mal eingeführt.)

Vorkenntnisse: Differentialgeometrie I und II
Zielgruppen: Masterstudenten (Module MGAGeo, MV), Doktoranden
Leistungsnachweise: 9 Leistungspunkte

Für einen benoteten Leistungsnachweis ist erforderlich:
Die Leistungen für einen unbenoteten Leistungsnachweis stimmen mit denen des benoteten Leistungsnachweis überein, werden jedoch nicht benotet.